Question

在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球．
求：
（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是

13

114

，且n≥2，那么，袋中的红球共有几个？
（2）根据（1）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率问题，试验包含的所有事件是从20个球中取3个球球，3个球全为红色，3个球全为蓝色，3个球全为黄色是互斥的，根据互斥事件的概率得到结果．
（2）由题意知3个球中至少有一个是红球的对立事件是3个球中没有红球，算出没有红球的概率，用对立事件的概率公式得到结果．

解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率问题，
试验包含的所有事件是从20个球中取3个球球的种数为C₂₀³=1140．
设“3个球全为红色”为事件A，
“3个球全为蓝色”为事件B，
“3个球全为黄色”为事件C．
P（B）=

C 3 5

C 3 20

=

10

1140

，P（C）=

C 3 10

C 3 20

=

120

1140

．
∵A、B、C为互斥事件，
∴P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C），
即

13

114

=P（A）+

10

1140

+

120

1140

P（A）=0
∴取3个球全为红球的个数≤2．
又∵n≥2，故n=2．
（2）记“3个球中至少有一个是红球”为事件D．
则

.

D

为“3个球中没有红球”．
P（D）=1-P（

.

D

）=1-

C 3 18

C 3 20

=

27

95

或
P（D）=

C 1 2 C 2 18 + C 2 2 C 1 18

C 3 20

=

27

95

．

点评：本题考查等可能事件的概率和互斥事件，分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件．