如图:PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动
(Ⅰ)求三棱锥E-PAD的体积;
(Ⅱ)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(Ⅲ)证明:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF
(Ⅰ)(Ⅱ)平行,(Ⅲ)详见解析
解析试题分析:(Ⅰ)因为已知PA⊥平面ABCD,所以求三棱锥E-PAD的体积,用等体积法
求体积时先找高线,即先观察面上的垂线,(Ⅱ)点为的中点,点F是PB的中点,EF为三角形的中位线,根据三角形的中位线可得线线平行,再由直线与平面平行的判定定理得出结论,(Ⅲ)无论点E在边BC的何处,暗示本题只需考虑直线AF与平面PBC的垂直关系即可 由等腰三角形底边上中线垂直于底边,即AF垂直于PB,因此只需考虑AF垂直平面PBC另一条直线 经观察,直线BC为目标,这是因为BC垂于AB,而PA又垂直BC。到此思路已出,只需逆推即可。
试题解析:解:(Ⅰ)三棱锥E-PAD的体积 4分
(Ⅱ)当点为中点时,与平面平行
在中,分别为的中点,
又平面,而平面,
平面 4分
(Ⅲ)证明:平面平面
,又平面,
平面,又平面,
又,点为的中点,,
又,平面,平面
平面, 4分
考点:三棱锥体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定与性质
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,O为AC中点.
(1)证明:A1O⊥平面ABC;
(2)若E是线段A1B上一点,且满足VE-BCC1=·VABC-A1B1C1,求A1E的长度.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,,,且.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)棱上是否存在一点,使直线与平面所成的角是?若存在,求的长;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,又PA=PD,∠APD=60°,E、G分别是BC、PE的中点.
(1)求证:AD⊥PE;
(2)求二面角E-AD-G的正切值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知:如图,等腰直角三角形的直角边,沿其中位线将平面折起,使平面⊥平面,得到四棱锥,设、、、的中点分别为、、、.
(1)求证:、、、四点共面;
(2)求证:平面平面;
(3)求异面直线与所成的角.
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