Question

已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且3sin²A+3sin²B=4sinAsinB+3sin²C．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a-3，c=

6

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，表示由利用余弦定理化简即可求求cosC的值；
（Ⅱ）将a，c的值代入第一问化简得到的等式求出b的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理得3a²+3b²-3c²=4ab，即a²+b²-c²=

4ab

3

，
整理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

4ab 3

2ab

=

2

3

；
（Ⅱ）将a=3，c=

6

，代入3a²+3b²-3c²=4ab得：27+3b²-18=12b，
解得：b=1或b=3，
∵sinC=

1-cos2C

=

5

3

，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

5 b

2

=

5

2

或

3 5

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．