已知函数f(x)是定义在[a.b]上的函数.若存在x0∈(a.b).使得函数在[a.x0]上单调递增.在[x0.b]上单调递减.则称y=f(x)为[a.b]上的“单凸函数 .x0称为“凸点 .包含“凸点的区间称为“含凸区间．(1)判断下列函数中.哪些是[0.1]上的“单凸函数 ?若是.指出“凸点 ,若不是.说明理由．①f1(x)=x-2x2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知函数f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在x₀∈（a，b），使得函数在[a，x₀]上单调递增，在[x₀，b]上单调递减，则称y=f（x）为[a，b]上的“单凸函数”，x₀称为“凸点”，包含“凸点”的区间称为“含凸区间”．
（1）判断下列函数中，哪些是[0，1]上的“单凸函数”？若是，指出“凸点”；若不是，说明理由．
①f₁（x）=x-2x²
②f₂（x）=1-|2x-1|
③f₃（x）=|log₂（x+

）|
④f₄（x）=sin4x
（2）若函数f（x）=ax³+x（a＜0）是[1，2]上的“单凸函数”，求实数a的取值范围；
（3）某学生研究发现如下命题：设y=f（x）是[a，b]上的“单凸函数”，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）＞f（n），则[a，n]为y=f（x）的“含凸区间”，试判断该命题的真假，并说明理由．

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据“单凸函数”和“凸点”的定义，利用导数的性质能求出结果．
（2）若要使函数为“单凸函数”，在此区间上需满足二阶导数小于0，且存在极值点，由此能求出a的范围．
（3）由f（x）是单凸函数，得在[a，b]不是单纯的单边增函数或单边减函数，由此能推导出[a，n]为f（x）的含凸区间．

解答： 解：（1）∵①f₁（x）=x-2x²，∴f1′(x)=1-4x，
由f1′(x)=0，得x=

，
x∈[0，

)时，f1′(x)＞0，f₁（x）是增函数；
x∈（

，1]时，f1′(x)＜0，f₁（x）是减函数．
∴①f₁（x）=x-2x²是[0，1]上的“单凸函数”，“凸点”为

；
∵②f₂（x）=1-|2x-1|=

2-2x，x≥

2x，x＜

，
∴f2′(x)=

-2，x≥

2，x＜

，
∴②f₂（x）=1-|2x-1|不是[0，1]上的“单凸函数”；
∵③f₃（x）=|log₂（x+

）|=

log2(x+

)，x≥

-log2(x+

)，-

＜x＜

，
∴f3′(x)=

(x+

)ln2

，x≥

(x+

)ln2

，-

＜x＜

，
∴③f₃（x）=|log₂（x+

）|不是[0，1]上的“单凸函数”；
∵④f₄（x）=sin4x，
∴f4′(x)=4cos4x，
由f4′(x)=0，得4x=

+2kπ，即x=

kπ

，k∈Z，
当x∈[0，

）时，f4′(x)＞0，函数f₄（x）是增函数；
当x∈（

，1]时，f4′(x)＜0，函数f₄（x）是减函数．
∴④f₄（x）=sin4x是[0，1]上的“单凸函数”，“凸点”是

．
（2）若要使函数为“单凸函数”，在此区间上需满足二阶导数小于0，且存在极值点，
∵f（x）=ax³+x（a＜0），∴f′（x）=3ax²+1，
f''（x）=6ax，
令f′（x）=0，得3ax²+1=0，x²=-

，
1＜x＜2，1＜x²＜4，1＜-

＜4
解得：-

＜a＜-

由二阶导数小于0，得a＜0，
∴a的范围：-

＜a＜-

．
（3）该命题是正确的
∵f（x）是单凸函数，
∴在[a，b]不是单纯的单边增函数或单边减函数，
设凸点为P，
∵m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）＞f（n），
∴P必在[m，n]上，
∴P也在[a，n]上，
∴[a，n]为f（x）的含凸区间．

点评：本题考查单凸函数”的判断和“凸点”的求法，考查实数的取值范围的求法，考查含凸区间的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

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