Question

已知平面内与两定点A（2，0），B（-2，0）连线的斜率之积等于-

1

4

的点P的轨迹为曲线C₁，椭圆C₂以坐标原点为中心，焦点在y轴上，离心率为

5

5

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若曲线C₁与C₂交于M、N、P、Q四点，当四边形MNPQ面积最大时，求椭圆C₂的方程及此四边形的最大面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点坐标为（x，y），利用平面内与两定点A（2，0），B（-2，0）连线的斜率之积等于-

1

4

，建立方程，化简可得结论；
（Ⅱ）椭圆C₂以坐标原点为中心，焦点在y轴上，离心率为

5

5

，则可设方程为

y2

a2

+

x2

4 5 a2

=1（a＞0），与C₁的方程联立，即可求得四边形的面积，利用配方法，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设动点坐标为（x，y），则由题意可得

y

x-2

×

y

x+2

=-

1

4

，即

x2

4

+y2=1（x≠±2）
∴C₁的方程为

x2

4

+y2=1（x≠±2）；
（Ⅱ）椭圆C₂以坐标原点为中心，焦点在y轴上，离心率为

5

5

，则可设方程为

y2

a2

+

x2

4 5 a2

=1（a＞0）
由

x2 4 +y2=1 y2 a2 + x2 4 5 a2 =1

可得

x2=a2-1 y2= 5-a2 4

∴四边形MNPQ面积为4

(a2-1)• 5-a2 4

=2

-(a2-3)2+4

∴a²=3时，四边形MNPQ面积最大为4，此时椭圆C₂的方程为

y2

3

+

x2

12 5

=1

点评：本题考查轨迹方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．