Question

11．如果函数$f（x）=\frac{{1-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$，那么$f（1）+f（2）+…+f（2015）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+…+f（\frac{1}{2015}）$的值为0．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，把要求的式子重新组合可得．

解答 解：∵$f（x）=\frac{{1-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$，∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1-\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=0，
∴$f（1）+f（2）+…+f（2015）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+…+f（\frac{1}{2015}）$
=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2015}$）]=0，
故答案为：0．

点评 本题考查函数值得求解，从中得出f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0是解决问题的关键，属中档题．