Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是A₁C₁的中点，则直线AD与平面B₁DC所成角的正弦值为（　　）

• A．

  3

  5

• B．

  4

  5

• C．

  3

  4

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：先证出B₁D⊥平面AC₁，过A点作AG⊥CD，证AG⊥平面B₁DC，可知∠ADG即为直线AD与平面B₁DC所成角，求其正弦即可．

解答：解：如图，连接B₁D
∵D是A₁C₁的中点，△A₁B₁C₁是正三角形
∴B₁D⊥A₁C₁，
∵平面AC₁⊥平面A₁B₁C₁，平面AC₁∩平面A₁B₁C₁=A₁C₁，
∴B₁D⊥平面AC₁，
过A点作AG⊥CD，则由B₁D⊥平面AC₁，得AG⊥B₁D
由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B₁DC，
于是∠ADG即为直线AD与平面B₁DC所成角，
由已知，不妨令棱长为2，则AD=

5

=CD，
由等面积法得AG=

AC×AA1

CD

=

4 5

5

所以直线AD与面DCB₁的正弦值为

4

5

故选B．

点评：本题考查正棱柱的性质以及线面角的求法，考查空间想象能力以及点线面的位置关系．