已知函数.(x>0)． (1)当0<a<b.且f(a)=f(b)时.求的值 , (2)是否存在实数a.b(a<b).使得函数y=f(x)的定义域.值域都是[a.b].若存在.求出a.b的值.若不存在.请说明理由． (3)若存在实数a.b(a<b).使得函数y=f(x)的定义域为 [a.b]时.值域为 [ma.mb].(m≠0).求m的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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(本小题满分14分) 已知函数，(x>0)．

（1）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求的值；

（2）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

（3）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]，(m≠0)，求m的取值范围．

【答案】

（14分）（1）．

（2）不存在满足条件的实数a，b．

（3）

【解析】（14分）解：（1） ∵x>0，∴

∴f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数．

由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得 0<a1<b和．即．

……………………3分

（2）不存在满足条件的实数a，b．

若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是[a，b]，

则a>0．而

①当时，在（0，1）上为减函数．

故即解得 a=b．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

②当时，在上是增函数．

故即

此时a，b是方程的根，此方程无实根．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

③当，时，由于，而，

故此时不存在适合条件的实数a，b．

综上可知，不存在适合条件的实数a，b． …………………………8分

（3）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．

则a>0，m>0．

① 当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故．此时得a=b，不符合题意，所以a，b不存在．

② 当，时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

故只有．

∵在上是增函数，

∴ 即所以a、b是方程的两个根．

即关于x的方程有两个大于或等于1的相异实根．

设这两个根为、，则+=，·=．

∴ 即解得．

故m的取值范围是． ……………………………14分

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