Question

3．设A_n=（1+lgx）ⁿ，B_n=1+nlgx+$\frac{n（n-1）}{2}$lg²x（n≥3，n∈N），且x＞$\frac{1}{10}$，试比较A_n和B_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 对x分类讨论，利用对数的运算性质、二项式定理展开即可得出．

解答 解：∵n≥3，
∴A_n-B_n=[1+nlgx+$\frac{n（n-1）}{2}$lg²x+${∁}_{n}^{3}l{g}^{3}x$+…]-（1+nlgx+$\frac{n（n-1）}{2}$lg²x）
=${∁}_{n}^{3}l{g}^{3}x$+${∁}_{n}^{4}l{g}^{4}x$+…+${∁}_{n}^{n}l{g}^{n}x$．
当x≥1时，lgx≥0，∴A_n≥B_n．
当$\frac{1}{10}＜x＜1$时，-1＜lgx＜0，A_n＜B_n．
综上可得：当x≥1时，A_n≥B_n．当$\frac{1}{10}＜x＜1$时，A_n＜B_n．

点评 本题考查了分类讨论、对数的运算性质、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．