Question

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ，
（I）求a₃、a₄；
（Ⅱ）证明：数列{a_n+1-2a_n}是一个等比数列；
（Ⅲ）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ，分别令n=1，2，3，4可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2{a}_{1}-2}\\{{a}_{1}+{a}_{2}=2{a}_{2}-{2}^{2}}\\{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}=2{a}_{3}-{2}^{3}}\\{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}=2{a}_{4}-{2}^{4}}\end{array}\right.$，解得即可．
（II）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2ⁿ-$（2{a}_{n-1}-{2}^{n-1}）$，化为a_n=2a_n-1+2^n-1，证明$\frac{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}{{a}_{n}-2{a}_{n-1}}$为一非0常数即可．
（III）由a_n=2a_n-1+2^n-1，化为$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 （I）解：数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ，
∴分别令n=1，2，3，4可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2{a}_{1}-2}\\{{a}_{1}+{a}_{2}=2{a}_{2}-{2}^{2}}\\{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}=2{a}_{3}-{2}^{3}}\\{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}=2{a}_{4}-{2}^{4}}\end{array}\right.$，解得a₁=2，a₂=6，a₃=16，a₄=40．
（II）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2ⁿ-$（2{a}_{n-1}-{2}^{n-1}）$，化为a_n=2a_n-1+2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}{{a}_{n}-2{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2，
∴数列{a_n+1-2a_n}是一个等比数列，首项为2，公比为2．
（III）解：由a_n=2a_n-1+2^n-1，
化为$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$，
∴a_n=（n+1）•2^n-1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．