Question

已知命题P：函数y=log_a（x+1）在定义域内单调递减；命题Q：不等式 x²+（2a-3）x+1＞0的解集为R．如果P且Q是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A．（0，1）
• B．（0，

  1

  2

  ）
• C．（

  1

  2

  ，1）
• D．（1，5）

Answer 1

分析：根据对数函数的单调性与底数的关系，我们可以判断出命题P为真时，实数a的取值范围，根据二次不等式恒成立的充要条件，可以判断出命题Q为真时，实数a的取值范围，进而根据“P且Q”是真命题，得到命题P和Q必然全为真，综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：命题P：函数y=log_a（x+1）在（0，+∞）内单调递减，为真命题时，0＜a＜1
命题Q：不等式 x²+（2a-3）x+1＞0的解集为R，为真命题时，（2a-3）²-4＜0，解得

1

2

＜a＜

5

2

若“P且Q”是真命题，
则命题P和Q必然全为真
∴实数a的取值范围是（

1

2

，1）•
故答案为 C

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中分别求出命题P和命题Q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．