Question

8．已知$\frac{sin2x}{2cosx}$（1+tanxtan$\frac{x}{2}$）=2，求cos2x的值．

Answer 1

分析 根据二倍角与半角公式，利用正切函数与正弦和余弦函数的互化，即可求出结果．

解答 解：∵$\frac{sin2x}{2cosx}$（1+tanxtan$\frac{x}{2}$）=$\frac{2sinxcosx}{2cosx}$•（1+$\frac{sinx}{cosx}$•$\frac{1-cosx}{sinx}$）
=sinx•（1+$\frac{1-cosx}{cosx}$）
=$\frac{sinx}{cosx}$
=tanx=2，
∴cos2x=cos²x-sin²x
=$\frac{{cos}^{2}x{-sin}^{2}x}{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$
=$\frac{1{-tan}^{2}x}{{tan}^{2}x+1}$
=$\frac{1{-2}^{2}}{{2}^{2}+1}$
=-$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了二倍角与半角公式的应用问题，也考查了正切函数与正弦和余弦函数的互化问题，是基础题目．