Question

【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且 是1与an的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn为数列{ }的前n项和，证明： ＜Tn＜1（n∈N*）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）n=1时，a1=1，
n≥2时，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ，
又4Sn=（an+1）2 ，
两式相减得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，
∵an＞0，
∴an﹣an﹣1=2，
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，即an=2n﹣1．
（Ⅱ）由 = ﹣ ，
故Tn=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）=1﹣ ＜1
当n=1时，T1= ，
故 ＜Tn＜1（n∈N*）
【解析】（Ⅰ）n=1时，可求得a1=1；依题意，4Sn=（an+1）2 ， n≥2时，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ， 二式相减，可得an﹣an﹣1=2，从而可求数{an}的通项公式；（Ⅱ）利用裂项法可求得 = ﹣ ，于是可求数列{ }的前n项和Tn ， 利用放缩法即可证明．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．