Question

【题目】如图，在直角梯形中，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面.

(Ⅰ)求证：平面平面；

(Ⅱ)延长至点，使为平面内的动点，若直线与平面所成的角为，且，求点到点的距离的最小值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）由于直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，,利用面面垂直的性质可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由(Ⅰ)可知两两垂直.分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，的坐标为，求得，利用向量垂直数量积为零求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得，进而可得，进而可得结果.

试题解析：(Ⅰ)直角梯形中，，直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，,又平面平面，平面，平面平面.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知两两垂直.分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知,所以

，设是平面的法向量，则，即，取，得.

设的坐标为，则,由,

得,,,

,所以，

当时，,点到点的距离的最小值为.