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已知函数f(x)=asinx-x+b(a、b均为正的常数).
(1)求证函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点;
(2)设函数f(x)在x=
π
3
处有极值
①对于一切x∈[0,
π
2
]
,不等式f(x)>sinx+cosx总成立,求b的取值范围;
②若函数f(x)在区间(
m-1
3
π,
2m-1
3
π)
上单调递增,求实数m的取值范围.
分析:(1)利用f(0)=b>0,f(a+b)=asin(a+b)-a-b+b=a[sin(a+b)-1]≤0,可得函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点;
(2)利用函数f(x)在x=
π
3
处有极值,可得a=2
①不等式f(x)>sinx+cosx等价于b>cosx-sinx+x对于一切x∈[0,
π
2
]
总成立,可求g(x)=cosx-sinx+x在[0,
π
2
]
上是单调增函数,且最大值为-1+
π
2
,故可求b的取值范围;
②由f′(x)=2cosx-1>0,可x得函数f(x)单调递增区间为(-
π
3
+2kπ,
π
3
+2kπ)
(k∈Z),利用函数f(x)在区间(
m-1
3
π,
2m-1
3
π)
上单调递增,可建立不等式组,从而可求实数m的取值范围.
解答:(1)证明:∵函数f(x)=asinx-x+b,a、b均为正的常数
∴f(0)=b>0,f(a+b)=asin(a+b)-a-b+b=a[sin(a+b)-1]≤0
∴函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点;
(2)f′(x)=acosx-1,
∵函数f(x)在x=
π
3
处有极值,∴f′(
π
3
)=acos
π
3
-1=0,∴a=2
∴f(x)=asinx-x+b=2sinx-x+b
①不等式f(x)>sinx+cosx等价于b>cosx-sinx+x对于一切x∈[0,
π
2
]
总成立
设g(x)=cosx-sinx+x,∴g′(x)=-sinx-cosx+1=-
2
sin(x+
π
4
)+1

x∈[0,
π
2
]
,∴x+
π
4
∈[
π
4
4
]
,∴-
2
sin(x+
π
4
)+1≤0

∴g′(x)≤0
∴g(x)=cosx-sinx+x在[0,
π
2
]
上是单调减函数,且最大值为1
欲使b>cosx-sinx+x对于一切x∈[0,
π
2
]
总成立,只需要b>1即可
②由f′(x)=2cosx-1>0,可得x∈(-
π
3
+2kπ,
π
3
+2kπ)
(k∈Z)
∴函数f(x)单调递增区间为(-
π
3
+2kπ,
π
3
+2kπ)
(k∈Z)
∵函数f(x)在区间(
m-1
3
π,
2m-1
3
π)
上单调递增
m-1
3
π≥-
π
3
+2kπ
2m-1
3
π≤
π
3
+2kπ
m-1
3
π<
2m-1
3
π
,∴6k≤m≤1+3k,且m>0
∵6k≤1+3k,1+3k>0(k∈Z),
-
1
3
<k≤0
∴k=0,0≤m≤1
即实数m的取值范围为[0,1].
点评:本题考查函数的零点,考查恒成立问题,考查函数的单调性,解题的关键是正确求导,确定函数的最值与单调区间.
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1
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1
4
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