Question

【题目】已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设g（x）=ax，（a＞0且a≠1），g（3）=a3=8，

故a=2，f（x）= ，

任取实数x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）

= ﹣

= ，

∵x1＜x2，考虑y=2x在R递增，

∴ ＞ ＞0，

∴ ﹣ ＞0，（1+ ）（1+ ）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴y=f（x）在R递减；

（2）解：要使f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，

即f（2t﹣3t2）＞﹣f（t2﹣k）成立，

即f（2t﹣3t2）＞f（k﹣t2）成立，

由（1）得：2t﹣3t2＜k﹣t2，即k＞﹣2t2+2t恒成立，

设h（t）=﹣2t2+2t=﹣2 + ，

h（t）max= ，

故k＞ ．

【解析】（1）根据g（3）=a3=8，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；（2）根据函数f（x）的单调性和奇偶性得到2t﹣3t2＜k﹣t2，即k＞﹣2t2+2t恒成立，设h（t）=﹣2t2+2t=﹣2 + ，根据二次函数的性质求出k的范围即可．