【题目】已知函数的定义域为(0,+),若在(0,+)上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若在(0,+)上为增函数,则称为”二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1,所有“二阶比增函数”组成的集合记为2。
(1)已知函数,若∈1,求实数的取值范围,并证明你的结论;
(2)已知0<a<b<c,∈1且的部分函数值由下表给出:
t | 4 |
求证:;
(3)定义集合,且存在常数k,使得任取x∈(0,+),<k},请问:是否存在常数M,使得任意的∈,任意的x∈(0,+),有<M成立?若存在,求出M的最小值;若不存在,说明理由。
【答案】(1)≤0;(2)见解析;(3)0
【解析】
(1)由∈,即在(0,+)是增函数,利用单调性的定义求解即可;
(2)由f(x)∈Ω1,取0<x1<x2<x1+x2,可得.由表格可知:f(a)=d,f(b)=d,f(c)=t,f(a+b+c)=4,0<a<b<c<a+b+c,利用“一阶比增函数”可得,再利用不等式的性质即可得出;
(3)根据“二阶比增函数”先证明f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立.再证明f(x)=0在(0,+∞)上无解.即可得出.
(1)解:因为∈,即在(0,+)是增函数,
当≤0,函数显然为增函数;
当>0,
任取,则
.
,
当≤0,,, 函数为增函数
当>0,
当时,,,,
所以,即,所以在上为减函数.
当时,,,,
所以,即,所以在上为增函数.
所以≤0,
(2)因为∈,且0<a<b<c<a+b+c,
所以,所以,
同理可证,,
三式相加得,所以。
因为,所以,而0<a<b,所以d<0,所以。
(3)因为集合,且存在常数k,使得任取x∈(0,+),<k},
所以 ∈,存在常数k,使得<k对x∈(0,+)成立。
我们先证明≤0对x∈(0,+)成立:假设 ∈(0,+),使得>0,记>0,
因为是二阶比增函数,即是增函数。所以当x>时,>,所以 ,
所以一定可以找到一个>,使得>>k,这与<k对∈(0,+)成立矛盾,
≤0对x∈(0,+)成立,所以 ∈,≤0对x∈(0,+)成立。
下面我们证明在(0,+)上无解:
假设存在>0,使得=0,则因为是二阶增函数,即是增函数,
一定存在>>0,>,这与上面证明的结果矛盾。所以在(0,+)上无解。
综上,我们得到 ∈,<0对∈(0,+)成立,
所以存在常数M≥0,使得 ∈,x∈(0,+),有M成立,
又令=(>0),则<0对x∈(0,+)成立,
又有在(0,+)上是增函数,所以,
而任取常数k<0,总可以找到一个>0,使得>时,有>k,所以M的最小值为0。
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【题目】设函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在上是单调函数;②在上的值域是,则称区间是函数的“和谐区间”.下列结论错误的是( )
A. 函数存在“和谐区间”
B. 函数不存在“和谐区间”
C. 函数存在“和谐区间”
D. 函数 (且)不存在“和谐区间”
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【题目】为了解学生的课外阅读时间情况,某学校随机抽取了50人进行统计分析,把这50人每天阅读的时间(单位:分钟)绘制成频数分布表,如下表所示:
阅读时间 | [0,20) | [20,40) | [40,60) | [60,80) | [80,100) | [100,120] |
人数 | 8 | 10 | 12 | 11 | 7 | 2 |
若把每天阅读时间在60分钟以上(含60分钟)的同学称为“阅读达人”,根据统计结果中男女生阅读达人的数据,制作出如图所示的等高条形图:
(1)根据已知条件完成2x2列联表;
男生 | 女生 | 总计 | |
阅读达人 | |||
非阅读达人 | |||
总计 |
(2)并判断是否有的把握认为“阅读达人”跟性别有关?
附:参考公式
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【题目】设函数,f(x)=|x﹣a|
(Ⅰ)当a=2,解不等式,f(x)≥5﹣|x﹣1|;
(Ⅱ)若f(x)≤1的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥4.
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【题目】在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+cosθ)=3 , 射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
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【题目】已知函数,是偶函数.
(1)求的值;
(2)若函数的图象在直线上方,求的取值范围;
(3)若函数,,是否存在实数使得的最小值为0?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】下列关于回归分析的说法中错误的有( )个
(1). 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽,则回归方程的预报精确度越高.
(2). 回归直线一定过样本中心。
(3). 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好。
(4) .甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80,则模型乙的拟合效果更好.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】禽流感一直在威胁我们的生活,某疾病控制中心为了研究禽流感病毒繁殖个数(个)随时间(天)变化的规律,收集数据如下:
天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
繁殖个数 | 6 | 12 | 25 | 49 | 95 | 190 |
作出散点图可看出样本点分布在一条指数型函数的周围.
保留小数点后两位数的参考数据:
,,,,,,,,其中
(1)求出关于的回归方程(保留小数点后两位数字);
(2)已知,估算第四天的残差.
参考公式:
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