Question

11．已知命题p：对任意x∈R，ax²+2x+a≥0，命题q：存在$x∈R，a（{sinx+2{{cos}^2}\frac{x}{2}-1}）=\sqrt{2}$，证明p是q的充分不必要条件．

Answer 1

分析 分别求出p，q的a的范围，结合集合的包含关系，从而证出结论．

解答 证明：关于命题p：对任意x∈R，ax²+2x+a≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-{4a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥1，
∴p为真时：a∈A=[1，+∞）；
命题q：存在$x∈R，a（{sinx+2{{cos}^2}\frac{x}{2}-1}）=\sqrt{2}$，
∴a（sinx+1+cosx-1）=$\sqrt{2}$，
∴asin（x+$\frac{π}{4}$）=1，
∴q真时a∈B=（-∞，-1]∪[1，+∞），
因为A是B的真子集，
∴p是q的充分不必要条件．

点评 本题考查了充分必要条件，考查二次函数、三角函数问题，是一道基础题．