Question

【题目】设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（﹣b，b）内的函数f（x）=lg 是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范围；
（3）用定义讨论并证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=lg 是奇函数等价于：

对任意的x∈（﹣b，b），都有f（﹣x）=﹣f（x），

即 = ，

即（a2﹣4）x2=0对任意x∈（﹣b，b）恒成立，

∴a2﹣4=0

又a≠2，

∴a=﹣2

（2）解：由（1）得： ＞0对任意x∈（﹣b，b）恒成立，

解 ＞0得：x∈（﹣ ， ）．

则有（﹣ ， ）（﹣b，b），

解得：b∈（0， ]

（3）解：任取x1，x2∈（﹣b，b），令x1＜x2，

则x1，x2∈（﹣ ， ），

∴1﹣2x1＞1﹣2x2＞0，

1+2x2＞1+2x1＞0，

即（1+2x2）（1﹣2x1）＞（1﹣2x2）（1+2x1）＞0，

即 ＞1，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0，

则f（x1）＞f（x2）

∴f（x）在（﹣b，b）内是单调减函数

【解析】（1）函数f（x）=lg 是奇函数等价于：对任意的x∈（﹣b，b），都有f（﹣x）=﹣f（x），即（a2﹣4）x2=0对任意x∈（﹣b，b）恒成立，解得a的值；（2）解 ＞0得：x∈（﹣ ， ）．则有（﹣ ， ）（﹣b，b），解得b的取值范围；（3）任取x1 ， x2∈（﹣b，），令x1＜x2 ， 判断f（x1），f（x2）的大小，根据定义，可得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．