精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,已知△ABD是等腰直角三角形,∠D=90°,BD=.现将△ABD沿斜边的中线DC折起,使二面角A-DC-B为直二面角,E是线段AD的中点,F是线段AC上的一个动点(不包括A).
(1)确定F的位置,使得平面ABD⊥平面BEF;
(2)当直线BD与直线EF所成的角为60°时,求证:平面ABD⊥平面BEF.

【答案】分析:(1)以C为原点,分别以CB、CD、CA为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系,根据=0,可知AD⊥BE,根据面ABD与面BEF垂直的性质定理可知AD⊥面BEF,则AD⊥EF,即,即可得到F点与C点重合时满足条件;
(2)根据=求出z,由F是线段AC上(不包括A、C)的点得z=0,从而F点与C点重合,则AD⊥EF,从而得到结论.
解答:证明:(1)由已知二面角A-DC-B为直二面角,又AC⊥CD,
∴AC⊥面BCD
在Rt△ACD中,CD=1,∠ADC=45°,
∴AC=1.
以C为原点,分别以CB、CD、CA为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,1).
∵E为AD中点,
∴E(0,),

∴AD⊥BE.
若面ABD⊥面BEF,则AD⊥面BEF,则AD⊥EF,即
设F(0,0,z),则(0,1,-1)•(0,-,z-)=0,
∴(-)•1+(-1)•(z-)=0⇒z=0,
∴F点坐标为(0,0,0),即F点与C点重合时,平面ABD⊥平面BEF.
(2)由(1)知
=解得z=0或z=1,由F是线段AC上(不包括A、C)的点得z=0
∴F点坐标为(0,0,0),即F点与C点重合,
∴AD⊥EF,
又BC⊥AD
∴平面ABD⊥平面BEF
点评:本题主要考查了平面与平面垂直的判定,平面与平面垂直的性质,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知△ABD是等腰直角三角形,∠D=90°,BD=
2
.现将△ABD沿斜边的中线DC折起,使二面角A-DC-B为直二面角,E是线段AD的中点,F是线段AC上的一个动点(不包括A).
(1)确定F的位置,使得平面ABD⊥平面BEF;
(2)当直线BD与直线EF所成的角为60°时,求证:平面ABD⊥平面BEF.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•江苏一模)(选修4-1 几何证明选讲)
如图,已知CB是⊙O的一条弦,A是⊙O上任意一点,过点A作⊙O的切线交直线CB于点P,D为⊙O上一点,且∠ABD=∠ABP.
求证:AB2=BP•BD.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知△ABD是等腰直角三角形,∠D=90°,BD=数学公式.现将△ABD沿斜边的中线DC折起,使二面角A-DC-B为直二面角,E是线段AD的中点,F是线段AC上的一个动点(不包括A).
(1)确定F的位置,使得平面ABD⊥平面BEF;
(2)当直线BD与直线EF所成的角为60°时,求证:平面ABD⊥平面BEF.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省嘉兴市桐乡一中高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

如图,已知△ABD是等腰直角三角形,∠D=90°,BD=.现将△ABD沿斜边的中线DC折起,使二面角A-DC-B为直二面角,E是线段AD的中点,F是线段AC上的一个动点(不包括A).
(1)确定F的位置,使得平面ABD⊥平面BEF;
(2)当直线BD与直线EF所成的角为60°时,求证:平面ABD⊥平面BEF.

查看答案和解析>>

同步练习册答案