Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意的a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）解不等式f(x-

1

2

)＜f(x-

1

4

)；
（3）如果g（x）=f（x-c）和h（x）=f（x-c²）这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，可先证明函数的单调性，由奇定义和题设条件易得函数是增函数，由单调性比较两个函数值的大小即可；
（2）（1）由（1）函数f（x）是[-1，1]上的增函数上的增函数，可将不等式f(x-

1

2

)＜f(x-

1

4

)转化为

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜x- 1 4

，解出它的解集即可得到不等式的解集；
（3）由题意，要先解出两个函数的定义域，得P={x|-1≤x-c≤1}=x|c-1≤x≤c+1}，Q={x|-1≤x-c²≤1}={x|c²-1≤x≤c²+1}． 由于此两个集合的解集是空集，比较两个集合的端点，得到关于参数c的不等式，解出c的取值范围．

解答：解：（1）设-1≤x₁＜x₂≤1，由奇函数的定义和题设条件，得
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

(x2-x1)＞0，
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
∵a，b∈[-1，1]，且a＞b，
∴f（a）＞f（b）．
（2）∵f（x）是[-1，1]上的增函数，
∴不等式f(x-

1

2

)＜f(x-

1

4

)等价于

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜x- 1 4

?

- 1 2 ≤x≤ 3 2 - 3 4 ≤x≤ 5 4

解得-

1

2

≤x≤

5

4

∴原不等式的解集是{x|-

1

2

≤x≤

5

4

}．
（3）设函数g（x），h（x）的定义域分别是P和Q，
则P={x|-1≤x-c≤1}=x|c-1≤x≤c+1}，
Q={x|-1≤x-c²≤1}={x|c²-1≤x≤c²+1}．
由P∩Q=∅可得c+1＜c²-1或c²+1＜c-1．
解得c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了单调性的判断，利用单调性比较大小，解不等式，求函数定义域及根据两集合间的包含关系确定参数的取值范围，本题是单调性运用综合题，解题的关键是判断出函数的单调性，熟练掌握单调性在比较大小与解不等式中的运用，本题中有一易错点，在第二小题中，易忘记定义域的限制条件，只由单调性转化出一个不等式，从而解出x-

1

2

＜x-

1

4

得到解集是R，转化时一定要注意等价．本题考查了转化的思想，判断推理的能力及计算能力