【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与轴交于点,与曲线交于两点,.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)把ρ=2sinθ两边同时乘以ρ,代入ρ2=x2+y2,y=ρsinθ即可得到曲线C的直角坐标方程;
(2)将直线l的参数方程代入圆的方程,化为关于t的一元二次方程,利用根与系数的关系化为关于α的三角函数,则答案可求.
解:(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,
把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入,可得x2+y2﹣2y=0.
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0;
(2)将直线l的参数方程代入圆的方程,得t2+(2cosα﹣2sinα)t+1=0.
由△=(2cosα﹣2sinα)2﹣4>0,得sin2α<0,
且t1+t2=﹣2cosα+2sinα,t1t2=1.
∴.
sin2α<0∴
即的取值范围是(2,6].
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【题目】某小区为了了解业主用水情况,该小区分为一期和二期,入住共达4000户,现在通过随机抽样获得了100户居民的月均用水量,下图是调查结果的频数分布表和频率分布直方图.
分组 | |||||
频数 | 4 | 8 | 15 | 22 | 25 |
分组 | |||||
频数 | 14 | 6 | 4 | 2 |
(1)估计该小区月均用水量超过3.8吨约有多少户;
(2)通过频率分布直方图,估计该小区居民月均用水量平均值和中位数?查看答案和解析>>
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【题目】小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏,规则如下:若掷出的点数之和为4的倍数,则由原投掷人继续投掷;若掷出的点数之和不是4的倍数,则由对方接着投掷.
(1)规定第1次从小明开始.
(ⅰ)求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率;
(ⅱ)设游戏的前4次中,小芳投掷的次数为,求随机变量的分布列与期望.
(2)若第1次从小芳开始,求第次由小芳投掷的概率.
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【题目】张军自主创业,在网上经营一家干果店,销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃,价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克,为增加销量,张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元,顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后,张军会得到支付款的80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付180元,则x=________;
②在促销活动中,为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为_____.
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【题目】某校在一次期末数学测试中,为统计学生的考试情况,从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分),将统计结果按如下方式分成八组:第一组,第二组,…,第八组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
(1)求第七组的频率;
(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值);
(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,求他们的分差的绝对值小于10分的概率.
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【题目】如图,将斜边长为的等腰直角沿斜边上的高折成直二面角,为中点.
(1)求二面角的余弦值;
(2)为线段上一动点,当直线与平面所成的角最大时,求三棱锥外接球的体积.
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