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     点是抛物线上的不同两点，过分别作

    抛物线的切线，两条切线交于点．

    （1）求证：是与的等差中项；

      （2）若直线过定点，求证：原点是的垂心；

    （3）在（2）的条件下，求的重心的轨迹方程．

     

     

     

     

     

     

     

     

    【答案】

     （1）对　求导　　得，

    所以直线，即

    同理, 直线， 解得

    所以是与的等差中项；                      （5分）

      （2）设直线，代入  整理得．

    ，得  

         即；

    ，      ，

    ，      同理，

    所以原点是的垂心； （10分，只需证明两个垂直就得满分）

    （3）设的重心，则

    ，

    因为，所以点的轨迹方程为．               （15分）

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x2=2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（x0，y0）．
    （1）求证：x0是x1与x2的等差中项；
    （2）若直线AB过定点M（0，1），求证：原点O是△PAB的垂心；
    （3）在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    点是抛物线上的不同两点，过分别作抛物线的切线，两条切线交于点。

    （1）求证：是与的等差中项；

    （2）若直线过定点，求证：原点是的垂心；

    （3）在（2）的条件下，求的重心的轨迹方程。

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年浙江省杭州市长河高三市二测模考数学文卷 题型：解答题

    （本小题满分15分）

    如图所示，已知直线的斜率为且过点,抛物线, 直线与抛物线有两个不同的交点， 是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点,点为抛物线上一动点.

    （1）求的最小值；

     (2)求的取值范围；

    （3）若为坐标原点，问是否存在点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰过坐标原点, 若存在，求出动点的坐标；若不存在，请说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本小题满分15分）   已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，过其上一点P（x0, y0）（x0≠0）的切线方程为y-y0=-2x0 （x-x0）．

    （Ⅰ）求抛物线方程；

    （Ⅱ）斜率为k1的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k2的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足k2+λk1=0（λ≠0, λ≠-1）,若，求证线段PM的中点在y轴上；

    （Ⅲ）C、D是抛物线上的两个动点，若抛物线在C、D点处的切线互相垂直，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．

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