Question

已知数列{a_n}满足如图所示的程序框图．
（I）写出数列{a_n}的一个递推关系式；并求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和S_n，证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由程序框图可知，数列{a_n}的一个递推关系式：a_n+1=4a_n-3n+1，构造得出a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），通过求得等比数列通项公式得出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）结合等比数列求和公式，利用作差比较证明法进行证明．

解答：解（Ⅰ）由程序框图可知，数列{a_n}的一个递推关系式：
a_n+1=4a_n-3n+1，n是正整数，
∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列，
∴a_n-n=4^n-1，
∴a_n=4^n-1+n，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{a_n}的前n项和S_n=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

对任意的正整数n，S_n+1-4S_n=-

1

2

（3n²+n-4）≤0，所以不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．
．…（6分）

点评：本题考查程序框图的解读，数列通项公式求解，不等式的证明，考查转化构造、推理论证能力．