【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD=CD=2AB=2,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,E为PC的中点,且DE=EC.
(1)求证:PA⊥面ABCD;
(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈( , ),求a的取值范围.
【答案】
(1)证明:∵E为PC的中点,DE=EC=PE
∴PD⊥DC,
∵CD⊥AD,PD∩AD=D,
∴CD⊥平面PAD,
∵PA平面PAD,
∴CD⊥PA,
∵PA⊥AD,AD∩CD=D,
∴PA⊥面ABCD;
(2)解:以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间坐标系,
B(1,0,0),D(0,2,0)P(0,0,a),C(2,2,0),
平面BCD法向量 =(0,0,1),平面EBD法向量
,可得
【解析】(1)证明CD⊥平面PAD,可得CD⊥PA,利用PA⊥AD,AD∩CD=D,可以证明PA⊥面ABCD;(2)以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量的夹角公式,结合平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈( , ),即可求a的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定,需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如表:
交强险浮动因素和浮动费率比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮10% | |
上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型 | ||||||
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:
按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定, .某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年,记为该品牌车在第四年续保时的费用,求的分布列与数学期望值;(数学期望值保留到个位数字)
某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元:
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;
②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求他获得利润的期望值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某老师对全班名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查,统计数据如下所示:
参加社团活动 | 不参加社团活动 | 合计 | |
学习积极性高 | |||
学习积极性一般 | |||
合计 |
(1)请把表格数据补充完整;
(2)若从不参加社团活动的人按照分层抽样的方法选取人,再从所选出的人中随机选取两人作为代表发言,求至少有一个学习积极性高的概率;
(3)运用独立性检验的思想方法分析:请你判断是否有的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系?
附:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知左、右焦点分别为的椭圆与直线相交于两点,使得四边形为面积等于的矩形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆上一动点(不在轴上)作圆的两条切线,切点分别为,直线与椭圆交于两点, 为坐标原点,求的面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】平面直角坐标系中,椭圆: ()的离心率是,抛物线: 的焦点是的一个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是上动点,且位于第一象限, 在点处的切线与交于不同的两点, ,线段的中点为,直线与过且垂直于轴的直线交于点.
(i)求证:点在定直线上;
(ii)直线与轴交于点,记的面积为, 的面积为,求的最大值及取得最大值时点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知向量 与 .
(Ⅰ)若 在 方向上的投影为 ,求λ的值;
(Ⅱ)命题P:向量 与 的夹角为锐角;
命题q: ,其中向量 , =( )(λ,α∈R).若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求λ的取值范围.
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