Question

已知圆x²+y²=4内一定点M（0，1），经M且斜率存在的直线交圆于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，过点A、B分别作圆的切线l₁，l₂．设切线l₁，l₂交于点Q．
（1）设点P（x₀，y₀）是圆上的点，求证：过P的圆的切线方程是

x

0

x+y0y=4
（2）求证Q在一定直线上．

Answer 1

分析：（1）当P不在坐标轴上时，求得切线的斜率，用点斜式求得切线方程，当P在x、y轴上时，经检验也满足，从而得出结论．
（2）设直线AB的方程为y=kx+1，代入x²+y²=4得（1+k²）x²+2kx-3=0，利用一元二次方程根与系数的关系以及（1）的结论求得Q（x₀，y₀）的坐标，可得Q（x₀，y₀）的坐标满足直线y=4的方程，从而得出结论．

解答：解：（1）当P不在坐标轴上时，OP的斜率为

y0

x0

，故切线的斜率为-

x0

y0

，故切线方程为 y-y0=-

x0

y0

(x-x0)⇒y0y-y02=-x0x+

x

2 0

，
又x02+

y

2 0

=4，可得

x

0

x+y0y=4．
当P在y轴上时，P（0，2）或P（0，-2），此时切线方程为y=2或y=-2，上述方程也满足．
同理可得，当P在x上时上述方程也满足，
综上，原命题得证．
（2）设直线AB的方程为y=kx+1，
代入x²+y²=4得（1+k²）x²+2kx-3=0，∴x1+x2=

-2k

1+k2

，x1x2=-3（定值）．
设Q（x₀，y₀），

x1x0+y1y0=4 x2x0+y2y0=4

，解得y0=

4(x2-x1)

x2y1-x1y2

，x0=

4(y2-y1)

x1y2-x2y1

．
把y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1代入得：y₀=4，x₀=-4k．
故Q在一定直线y=4上．

点评：本题主要考查求圆的切线方程，一元二次方程根与系数的关系，直线过定点问题，属于中档题．