Question

如图，点P从点O出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为y=f（x），y=g（x），定义函数h（x）=

f(x) ，f(x)≤g(x) g(x) ，f(x)＞g(x)

，对于函数y=h（x），下列结论正确的个数是（　　）
①h（4）=

10

；                 
②函数h（x）的图象关于直线x=6对称；
③函数h（x）值域为[0 ， 

13

]； 
④函数h（x）增区间为（0，5）．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：利用已知条件求出函数的解析式，通过函数值，函数图象的对称性，单调性判断选项即可．

解答：解：点P从点O出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为y=f（x）=

x，x∈[0，4] x2-12x+48 ，x∈(4，8) 12-x，x∈[8，12)

，
y=g（x）=

x，x∈[0.3] 18+x2-6x ，x∈(3，6] x2-24x+153 ，x∈(6，9) 12-x，x∈[9，12)

，
①∵函数h（x）=

f(x) ，f(x)≤g(x) g(x) ，f(x)＞g(x)

，f（4）=4，g（4）=

10

∴h（4）=

10

；∴①正确．                 
②函数h（x）的图象关于直线x=6对称；
∵两个几何图形是正三角形与正方形，∴函数h（x）的图象关于直线x=6对称，正确．
③函数h（x）值域为[0 ， 

13

]； g（x）∈[0.3

2

]，f（x）∈[0，4]，
由

x2-12x+48

=

18+x2-6x

，解得x=5时，f（x）=g（x），此时g（5）=

13

，
∴③正确；
④∵f（x）=

x，x∈[0，4] x2-12x+48 ，x∈(4，8) 12-x，x∈[8，12)

，x∈（6，8），f（x）是增函数，并且 g（x）≥f（x），∴函数h（x）增区间为（0，5），（6，8）．∴④不正确．
综上①②③正确．
故选：C．

点评：本题考查简易逻辑的应用，分段函数的图象与性质，考查基本知识的综合应用，难度比较大．