Question

已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为，原点到直线的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）（2）。

解析试题分析：（1）∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
原点到直线AB：的距离，　　４分
 故所求双曲线方程为 　　　　　　　　  6分
（2）把中消去y，整理得 .　　　　　　　　　　　　　　    8分
设，则 
因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以 ，　　　 10分
可得    把代入，
解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
解，得，满足，    12分
考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与双曲线的综合应用。
点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．