Question

已知实数x，y，z满足x²+4y²+9z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是7，求a的值．

Answer 1

分析：由柯西不等式：[x2+(2y)2+(3z)2][12+(

1

2

)2+(

1

3

)2]≥(x+

1

2

×2y+

1

3

×3z)2，可得出x+y+z的最大值，从而可根据最大值为7，建立关于a的方程解出a值即可．

解答：解：由柯西不等式：[x2+(2y)2+(3z)2][12+(

1

2

)2+(

1

3

)2]≥(x+

1

2

×2y+

1

3

×3z)2，
∴

49

36

a≥(x+y+z)2（a＞0），
∴-

7 a

6

≤x+y+z≤

7 a

6

，
∵x+y+z的最大值是7，
∴

7 a

6

=7，得a=36．
当x=

36

7

，y=

9

7

，z=

4

7

时，x+y+z取最大值，因此a=36．

点评：本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．