Question

若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5

AM

=

AB

+3

AC

，则△ABM与△ABC的面积比为

3

5

．

Answer 1

分析：连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，连接BE，则四边形ABED是平行四边形，利用S_△ABC=

1

3

S_△ABD
，S_△AMB=

1

5

S_△ABE，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半，即可求得结论．

解答：解：M是△ABC所在平面内一点，连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM．
∵5

AM

=

AB

+3

AC

，
∴

AB

=5

AM

-3

AC

=

DE

，
连接BE，则四边形ABED是平行四边形（向量AB和向量DE平行且模相等）
由于

AD

=3

AC

，所以S_△ABC=

1

3

S_△ABD

AM

=

1

5

AE

，所以S_△AMB=

1

5

S_△ABE，
在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半
故△ABM与△ABC的面积比=

1 5 S △ABE

1 3 S△ABD

=

3

5

．
故答案为：

3

5

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，解题的关键是确定三角形的面积，属于中档题．