Question

已知O为锐角△ABC的外心，AB=6，AC=4，若

AO

=x

AB

+y

AC

，且x+4y=2，则cos∠BAC=（　　）

• A、

  1

  6

• B、-

  1

  3

• C、-

  1

  4

• D、

  1

  3

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义,余弦定理

专题：方程思想,平面向量及应用

分析：由O在AB、AC边上的射影分别是AB、AC的中点，利用

AB

•

AO

=x

AB

2+y

AB

•

AC

，求出18=36x+24ycos∠BAC①；

AC

•

AO

=x

AC

•

AB

+y

AC

2，求出8=24xcos∠BAC+16y ②；
结合x+4y=2③；由①②③组成方程组，求出cos∠BAC的值．

解答： 解：∵O是锐角△ABC的外心，
∴O在AB、AC边上的射影分别是AB、AC的中点，
∴

AB

•

AO

=x

AB

2+y

AB

•

AC

，
即

1

2

AB

2=6²x+6×4ycos＜

AB

，

AC

＞，
∴18=36x+24ycos∠BAC①；
同理，

AC

•

AO

=x

AC

•

AB

+y

AC

2，
∴8=24xcos∠BAC+16y ②；
又x+4y=2③；
由①②③组成方程组，
解得cos∠BAC=

1

6

．
故选：A．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积，结合题目中的条件，列出方程组，从而解答问题，是较难的题目．