Question

【题目】已知曲线上的任意一点到两定点、距离之和为，直线交曲线于两点，为坐标原点．

（1）求曲线的方程；

（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（3）若直线过点，求面积的最大值，以及取最大值时直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）或

【解析】

（1）利用椭圆的定义可知曲线为的椭圆，直接写出椭圆的方程．

（2）设直线，设，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值．

（3）设直线方程是与椭圆方程联立，根据面积公式，代入根与系数的关系，利用换元和基本不等式求最值.

（1）由题意知曲线是以原点为中心，长轴在轴上的椭圆，

设其标准方程为，则有，

所以，∴ .

（2）证明：设直线的方程为，

设

则由 可得，即

∴，∴ ，

，

，

∴直线的斜率与 的斜率的乘积=为定值

（3）点，

由 可得，

，解得

∴

设

当时，取得最大值.

此时，即

所以直线方程是