Question

已知数列{a_n}中，a1=1，an+1-an=

1

3n+1

(n∈N*)，则

lim

n→∞

an=

 

．

Answer 1

分析：首先由an+1-an=

1

3n+1

(n∈N*)求a_n可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到a_n的表达式，再求极限即可．

解答：解：因为an=(an-an-1)+(an-1+an-2)++(a2-a1)+a1=

1

3n

+

1

3n-1

+…+

1

32

+1
所以a_n是一个等比数列的前n项和，所以an=

1-qn

1-q

，且q=2．代入，
所以

lim

n→∞

an=1+

1 32

1- 1 3

=

7

6

．
所以答案为

7

6

点评：此题主要考查数列的求和问题，用到错位相加法的思想，需要注意．