Question

8．正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为4，求正四棱台的高和斜高．

Answer 1

分析 取上底A₁B₁C₁D₁的中心O₁和下底ABCD的中心O，连结OO₁，过O₁作O₁F⊥A₁B₁，交A₁B₁于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，过F作FN⊥OE，交OE于N，正四棱台的斜高B₁K，正四棱台的高OO₁=FN，由此能求出正四棱台的高和斜高．

解答 解：取上底A₁B₁C₁D₁的中心O₁和下底ABCD的中心O，连结OO₁，
过O₁作O₁F⊥A₁B₁，交A₁B₁于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，
过F作FN⊥OE，交OE于N，
正四棱台的斜高B₁K=EF=$\sqrt{B{B}^{2}-（\frac{AB-{A}_{1}{B}_{1}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{16-1}$=$\sqrt{15}$．
则正四棱台的高OO₁=FN=$\sqrt{E{F}^{2}-（OE-{O}_{1}F）^{2}}$=$\sqrt{15-（4-2）^{2}}$=$\sqrt{11}$．
∴正四棱台的高是$\sqrt{11}$，斜高是$\sqrt{15}$．

点评 本题考查正四棱台的高和斜高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力和下四棱台的结构特征的合理运用．