已知函数f(x)=x2+2x+alnx.
(Ⅰ)若a=-4,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(Ⅰ)把a=-4代入得f(x),求出f′(x)>0得函数的增区间,求出f′(x)<0得到函数的减区间,即可得到函数的极小值;
(Ⅱ)由f(x)的解析式化简不等式,得到当t≥1时,t
2≥2t-1,∴
ln≥0.即t>1时,
a≤恒成立即要求出
的最小值即可得到a的范围.
解答:解:(Ⅰ)由题意得,
f(x)=x2+2x-4lnx?f′(x)=2x+2-.由函数的定义域为x>0,
∴f'(x)>0?x>1,f'(x)<0?0<x<1.∴函数f(x)有极小值f(1)=3.
(Ⅱ)∵f(x)=x
2+2x+alnx,
∴
f(2t-1)≥2f(t)-3?2t2-4t+2≥2alnt-aln(2t-1)=aln.
当t≥1时,t
2≥2t-1,∴
ln≥0.即t>1时,
a≤恒成立.又易证ln(1+x)≤x在x>-1上恒成立,
∴
ln=ln[1+]≤<(t-1)2在t>1上恒成立.当t=1时取等号,∴当t≥1时,
ln≤(t-1)2,∴由上知a≤2.故实数a的取值范围是(-∞,2].
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件.考查考生的运算、推导、判断能力.