Question

已知圆x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0的圆心为C，直线l：y=x+b，圆心C到坐标原点O的距离不大于圆C半径的2倍．
（1）若b=4，求直线l被C所截得弦长的最大值；
（2）若直线l是圆心C下方的圆的切线，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将圆的方程转化为标准方程求得圆心C的坐标和半径，再求得圆心C到直线l的距离，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系构造关于a的函数，然后由二次函数求最值的方法求解．
（2）由直线l与圆C相切，建立b与a的关系，|b-2a|=2

2a

，再由点C在直线l的上方，去掉绝对值，将m转化为关于a的二次函数求解．

解答：解：（1）已知圆的标准方程是（x+a）²+（y-a）²=4a，
∵圆心C到坐标原点O的距离不大于圆C半径的2倍．
∴

2

a≤2×2

a

，∴0＜a≤8，
则圆心C的坐标是（-a，a），半径为2

a

．
直线l的方程化为：x-y+4=0．则圆心C到直线l的距离是=

|4-2a|

2

=

2

×|2-a|．
设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：
L=2

(2 a )2-( 2 |2-a|)2

=2

-2a2+12a-8

=2

-2(a-3)2+10

∵0＜a≤4，∴当a=3时，L的最大值为2

10

．
（2）因为直线l与圆C相切，则有

|b-2a|

2

=2

a

，即|b-2a|=2

2a

．
又点C在直线l的上方，∴a＞-a+b，即2a＞b．
∴2a-b=2

2a

，∴b=(

2a

-1)2-1．
∵0＜a≤8，∴0＜

2a

≤4，
∴b∈[-1，8]．
b的取值范围是[-1，8]．

点评：本题考查直线与圆的位置关系及方程应用，涉及利用直线与圆相切构建函数模型，求参数范围，及直线与圆相交时，由圆心距、半径与相交弦构成的三角形．