Question

【题目】在四棱锥中，平面平面， ， ， 为中点， ， .

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）由并结合平面几何知识可得．又由及平面平面可得平面，于是得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得平面平面．（2）根据，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，通过求出平面和平面法向量的夹角并结合图形可得所求二面角的余弦值．

试题解析：

（1）由条件可知， ，

，

，

.

，且为中点，

.

∵， ， ，

平面.

又平面，

.

，

平面.

平面，

平面平面.

（2）由（1）知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ， ， ，

∴， ， ， ，

设为平面的一个法向量，

由，得.

令，得.

同理可得平面的一个法向量．

∴.

由图形知二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为.