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    数列{an}满足：a1=1，an+1=
    an+2
    an+1

    （I）求证：1＜an＜2（n∈N*，n≥2），
    （Ⅱ）令bn=|an-
    		2
    |
    （1）求证：{bn}是递减数列；
    （2）设{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜
    2(2
    		2
    -1)
    7
    ．
    分析：（I）先由递推式求出a2，然后用数学归纳法证明；
    （Ⅱ）（1）通过作商证明
    bn+1
    bn
    ＜1；（2）由（1）可得
    bn+1
    bn
    ＜
    		2
    -1
    2
    ，即bn+1＜
    		2
    -1
    2
    bn    ，利用迭代法可得bn＜
    		2
    -1
    2
    bn-1＜(
    		2
    -1
    2
    )2bn-2    ＜…＜(
    		2
    -1
    2
    )n-1b1    =（
    		2
    -1）(
    		2
    -1
    2
    )n-1    ，
    利用该结论及等比数列前n项和公式可证明结论；
    解答：解：（Ⅰ）a1=1，a2=
    1+2
    1+1
    =
    3
    2
    ，
    （1）n=2时，1＜a2=
    3
    2
    ＜2，∴n=2时不等式成立；
    （2）假设n=k（k∈N*，k≥2）时不等式成立，即1＜ak＜2，
    ak+1=1+
    1
    ak+1
    ，
    ∴
    4
    3
    ＜ak+1＜
    3
    2
    ，
    ∴n=k+1时不等式成立，
    由（1）（2）可知对n∈N*，n≥2都有1＜an＜2；
    （Ⅱ）（1）
    bn+1
    bn
    =
    |an+1-
    		2
    |
    |an-
    		2
    |
    =
    |
    an+2
    an+1
    -
    		2
    |
    |an-
    		2
    |

    =
    1
    |an+1|
    •
    |an+2-
    		2
    an-
    		2
    |
    |an-
    		2
    |

    =
    1
    |an+1|
    •
    |an(1-
    		2
    )+
    		2
    (
    		2
    -1)|
    |an-
    		2
    |
    =
    |
    		2
    -1|
    |an+1|
    ，
    又
    |
    		2
    -1|
    |an+1|
    ＜
    		2
    -1
    2
    ＜1，
    ∴{bn}是递减数列；
    （2）由（1）知：
    bn+1
    bn
    ＜
    		2
    -1
    2
    ，∴bn+1＜
    		2
    -1
    2
    bn    ，
    则bn＜
    		2
    -1
    2
    bn-1＜(
    		2
    -1
    2
    )2bn-2    ＜…＜(
    		2
    -1
    2
    )n-1b1    =（
    		2
    -1）(
    		2
    -1
    2
    )n-1    ，
    所以Sn=b1+b2+b3+…+bn＜（
    		2
    -1）[1+
    		2
    -1
    2
    +(
    		2
    -1
    2
    )2+…+(
    		2
    -1
    2
    )n-1]
    =(
    		2
    -1)
    1-(
    		2
    -1
    2
    )n
    1-
    		2
    -1
    2

    =
    2(
    		2
    -1)(3+
    		2
    )
    7
    [1-(
    		2
    -1
    2
    )n]    ＜
    2(2
    		2
    -1)
    7
    ．
    点评：本题考查数列递推式、数列的函数特性、等比数列前n和公式、数学归纳法等知识，考查学生的推理证明能力．
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    设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）设a=
    1
    2
    ，c=
    1
    2
    ，bn=n(1-an)(n∈N*)    ，求数列{bn}的前n项和Sn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    数列{an}满足a1=a，an+1=
    an+3
    2
    ，n=1，2，3，…．
    （Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
    （Ⅱ）当a=
    1
    2
    时，证明：an＜
    3
    2
    ；
    （Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•天津模拟）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
    （1）求证：a≠1时数列{an-1}是等比数列，并求an；
    （2）设a=
    1
    2
    c=
    1
    2
    ，bn=n(1-an)(n∈N*)    ，求数列{bn}的前n项和Sn；
    （3）设a=
    3
    4
    ，c=-
    1
    4
    ，cn=
    3+an
    2-an
    (n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)    ，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
    5
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
    an-1-4 (an-1＞4)
    5-an-1 (an-1≤4)

    （I）当a=200时，填写下列表格；
    N 2 3 51 200
    an
    （II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
    （III）令b n=
    an
    (-2)n
    ，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
    5
    3
    时，T n＜
    5-3a
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
    x
    bx+1
    （x＞0），数列{an}满足a1=a，
    1
    an+1
    =f(
    1
    an
    )    （n∈N*）
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
    （3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由．

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