Question

已知函数y=a^x的图象经过平面区域

x-y+2≤0 2x+y-8≤0 x≥1

（1）求a取值范围的集合为A；
（2）已知“命题p：?x∈A，使x²+bx+16＞0”，写出￢p，若命题p为真命题，求出b取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意函数y=a^x的图象经过平面区域

x-y+2≤0 2x+y-8≤0 x≥1

，画出可行域，利用数形结合的方法进行求解；
（2）根据“命题p：?x∈A，使x²+bx+16＞0”，直接写出其否命题，知命题p为真命题，可以等价于x²+bx+16＞0在2≤x≤6上有解，然后再利用常数分离法进行求出b的范围；

解答：解（1）∵函数y=a^x的图象经过平面区域

x-y+2≤0 2x+y-8≤0 x≥1

画对可行域：

A（2，4），B（1，6）
   由图象可知当y=ax经过点A时，a值最小，经过点B时，a值最大，
∴2≤a≤6
∴A={a|2≤a≤6}
（2）?p：?x∈A，使x²+bx+16≤0
命题p：?x∈A，使x²+bx+16＞0为真命题
等价于x²+bx+16＞0在2≤x≤6上有解       
等价于 -b＜x+

16

x

在2≤x≤6上有解，
只要x+

16

x

在[2，6]上的最小值大于-b即可，
∵x+

16

x

≥2

16

=8（当x=4时，等号成立），又f（x）=x+

16

x

，其中f（2）=10，f（6）=6+

8

3

＜10，
∴10≥x+

16

x

≥8，要使 -b＜x+

16

x

在2≤x≤6上有解，
∴-b＜10即b＞-10；

点评：第一问比较简单，利用数形结合的方法画出草图，就可求解，第二问比较麻烦，用到了常数分离法，本题考查的知识点比较全面，是一道综合题；