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已知函数f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)-2cos2
ωx
2
,其中ω是使f(x)能在x=
π
3
处取得最大值时的最小正整数.(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)设△ABC的三边a,b,c满足b2=ac且边b所对的角θ的取值集合为A,当x∈A时,求f(x)的值域.
分析:(Ⅰ)利用两角和与差的余弦、正弦函数以及二倍角公式公式,化简函数f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)-2cos2
ωx
2

为:f(x)=2sin(ωx-
π
6
)-1
,然后利用在x=
π
3
处取得最大值,求出最小正整数ω的值.
(Ⅱ)设△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,利用余弦定理、基本不等式求出a=c,推出θ的范围,利用三角函数的有界性,求f(x)的值域.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
3
2
sinωx+
1
2
cosωx+
3
2
sinωx-
1
2
cosωx-(1+cosωx)
=2(
3
2
sinωx-
1
2
cosωx)-1=2sin(ωx-
π
6
)-1

由题意得ω
π
3
-
π
6
=2kπ+
π
2
,k∈Z,得ω=6k+2,k∈Z
当k=0时,最小正整数ω的值为2,故ω=2.
(Ⅱ)因b2=ac且b2=a2+c2-2accosθ
2cosθ+1=
a
c
+
c
a
≥2
当且仅当
a
c
=
c
a
,a=c时,等号成立
cosθ≥
1
2
,又因θ∈(0,π),则0<θ≤
π
3
,即A={x|0<x≤
π
3
}

由①知:f(x)=2sin(2x-
π
6
)-1

0<x≤
π
3
,则-
π
6
<2x-
π
6
π
2
-
1
2
<sin(4x-
π
6
)≤1
-2<f(x)≤1,
故函数f(x)的值域为:(-2,1].
点评:本题是基础题,考查两角和与差的正弦函数、余弦函数以及二倍角的应用,函数的性质,最值的求法,处理相关的多个问题时,前一问的解答是后边解答的依据,考查学生的细心程度,计算能力.
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(附加题)
(Ⅰ)设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时有x2∈S,给出下列四个结论:
①若m=2,则l=4
②若m=-
1
2
,则
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0
④若m=1,则S={1},
其中正确的结论为
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若对于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,则b的取值范围为
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
记aij是这个数表的第i行第j列的数.例如a43=17
(Ⅰ)  求该数表前5行所有数之和S;
(Ⅱ)2009这个数位于第几行第几列?
(Ⅲ)已知函数f(x)=
3x
3n
(其中x>0),设该数表的第n行的所有数之和为bn
数列{f(bn)}的前n项和为Tn,求证Tn
2009
2010

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(2012•开封二模)已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(II)记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面积S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•黑龙江一模)已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面积S.

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x2
1+x

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x2
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(Ⅲ)对一个实数集合M,若存在实数s,使得M中任何数都不超过s,则称s是M的一个上界.已知e是无穷数列an=(1+
1
n
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