Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f(x)≤(

x+1

2

)2
（1）求f（1）的值；
（2）证明：a＞0、c＞0；
（3）当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求证：m≤0或m≥1．

Answer 1

分析：（1）由条件可知x≤f(x)≤(

x+1

2

)2x∈（0、2）恒成立，取x=1即可求得f（1）的值；
（2）由条件可转化为二次不等式恒成立问题，考虑开口和△，找出a、b、c的关系即可；
（3）已知g（x）的单调性，转化为导函数≥0或≤0恒成立即可．

解答：解：（1）由条件可知x≤f(x)≤(

x+1

2

)2对任意实数x∈（0、2）恒成立，取x=1得1≤f（1）≤1，故f（1）=1．
（2）由f（-1）=0得a-b+c=0，故b=

1

2

，a+c=

1

2

，
由对任意实数x，都有f（x）-x≥0得ax²+（b-1）x+c≥0，
所以

a＞0 △= (b-1)2  -4ac≤0

，即

a＞0 △=   1 4  -4ac≤0

，即

a＞0 ac≥ 1 16

故a＞0，c＞0
（3）由（2）可知f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

，g(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

-mx在[-1、1]单调，
g′(x)=

1

2

x+

1

2

-m≥0或≤0在[-1、1]上恒成立，
所以m≤(

1

2

x+

1

2

)min=0或m≥(

1

2

x+

1

2

)max=1

点评：本题考查二次不等式恒成立问题、已知单调性求参数范围问题，综合性较强，难度较大．