Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴，抛物线上有两个动点A、B和一个定点M（2，y₀），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的中点到抛物线准线的距离是4，求抛物线方程．

Answer 1

分析：由题意可知抛物线的开口向右故可设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），由抛物线的定义可知，AF=xA+

p

2

，BF=xB+

p

2

，MF=2+

p

2

，结合AF，MF，BF成等差数列可得AF+BF=2MF，可求AB的横坐标的关系，由中点到抛物线准线的距离是4可求p，进而可求抛物线的方程

解答：解：由抛物线的顶点在原点，焦点在x轴，抛物线上有一个定点M（2，y₀）可知抛物线的开口向右
故可设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0），抛物线的准线x=-

p

2

由抛物线的定义可知，AF=xA+

p

2

，BF=xB+

p

2

，MF=2+

p

2

∵AF，MF，BF成等差数列可得AF+BF=2MF即xA+xB+p=2(2+

p

2

)
∴x_A+x_B=4
由AB的中点到抛物线准线的距离是4可得，

xA+xB

2

+

p

2

=4
∴p=4，抛物线的方程为：y²=8x

点评：本题主要考查了利用抛物线的定义及等差数列的性质求解抛物线的定义，解题的关键是根据已知抛物线上的一点判断出抛物线的开口方向．