Question

12．设函数f（x）=2ax²+2bx，若存在实数x₀∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x₀）=a+b成立，则t的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 对任意不为零的实数a，b均有f（x₀）=a+b成立等价于（2x-1）b=（1-2x²）a，分x=$\frac{1}{2}$或x≠$\frac{1}{2}$两种情况讨论，即可求出t的范围．

解答 解：f（x）=a+b成立等价于（2x-1）b=（1-2x²）a，
当x=$\frac{1}{2}$时，左边=0，右边≠0，不成立，
当x≠$\frac{1}{2}$时，（2x-1）b=（1-2x²）a等价于$\frac{b}{a}$=$\frac{1-2{x}^{2}}{2x-1}$，
设k=2x-1，则x=$\frac{k+1}{2}$，
则$\frac{b}{a}$=$\frac{1-\frac{（k+1）^{2}}{2}}{k}$=$\frac{-{k}^{2}-2k+1}{2k}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-k-2），
∵x∈（0，t），（t＜$\frac{1}{2}$），或x∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，t），（t＞$\frac{1}{2}$），
∴k∈（-1，2t-1），（t＜$\frac{1}{2}$），或k∈（-1，0）∪（0，2t-1），（t＞$\frac{1}{2}$），（*）
∵?a，b∈R，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-k-2），在（*）上有解，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-k-2），在（*）上的值域为R，
设g（k）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-k）-1，则g（k）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t＞\frac{1}{2}}\\{2t-1＞1}\end{array}\right.$，
解得t＞1，
故答案为：（1，+∞）

点评 本题考查了函数的单调性的应用，关键是构造函数，属于难题．