Question

16．设f（x）=e^x（ax²+x+1）（a＞0），试判断f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求导数，分类讨论，利用导数的正负，可讨论该函数的单调性．

解答 解：f′（x）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]=e^x（ax+1）（x+2），
①0＜a＜$\frac{1}{2}$时，令f′（x）＞0，解得：x＞-2或x＜-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{a}$＜x＜-2，
∴函数f（x）在（-∞，-$\frac{1}{a}$），（-2，+∞）递增，在（-$\frac{1}{a}$，-2）递减；
②a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；
③a＞$\frac{1}{2}$时，令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{a}$或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜-$\frac{1}{a}$，
∴函数f（x）在（-∞，-2），（-$\frac{1}{a}$，+∞）递增，在（-2，-$\frac{1}{a}$）递减．

点评 本题以函数为载体，考查函数的单调性，做题时要注意对a进行讨论，最后得出函数的单调区间．