Question

已知某海滨浴场的海浪高度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（t）．表是某日各时的浪高数据：

t	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	0.99	1.5

经长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Asin（ωt+

π

2

）+b的图象．
（1）根据以上数据，求出函数y=Asin（ωt+

π

2

）+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00到晚上20：00；之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？

Answer 1

分析：（1）依题意，知周期T=12，从而可求ω；再由t=0，y=1.5与t=3，y=1.0可求得A与b，从而可得函数y=Asin（ωt+

π

2

）+b的表达式；
（2）由题意知，

1

2

sin（

π

6

t+

π

2

）+1＞1⇒cos（

π

6

t）＞0⇒12k-3＜t＜12k+3（k∈Z），与0≤t≤24联立即可求得答案．

解答：解：（1）由表中数据，知周期T=12，
∴ω=

2π

T

=

2π

12

=

π

6

．
由t=0，y=1.5，得A+b=1.5--①，
由t=3，y=1.0，得b=1.0--②，
由①②联立解得A=

1

2

，b=1，
∴振幅为

1

2

，函数表达式为y=

1

2

sin（

π

6

t+

π

2

）+1．
（2）由题意知，当y＞1时才可对冲浪者开放，由

1

2

sin（

π

6

t+

π

2

）+1＞1，得cos（

π

6

t）＞0，
∴2kπ-

π

2

＜

π

6

t＜2kπ+

π

2

，
即12k-3＜t＜12k+3（k∈Z）--③，
∵0≤t≤24，
∴可令③中k分别为0，1，2，得0≤t≤3或9＜t＜15或21＜t＜24．
∴在规定时间上午8：00到晚上20：00之间，有6个小时可供冲浪者运动，即上午9；00到下午15：00．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查方程思想与解决实际应用问题的能力，属于难题．