Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，E、F、H分别为面A₁ADD₁、面DCC₁D₁与面BCC₁B₁的中心．
（1）求证：平面EFH∥平面ABCD；
（2）求三棱锥C₁-BEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面EFH∥平面ABCD．
（2）求出平面BEF的法向量

p

=（a，b，c），从而求出C₁到平面BEF的距离，再由S_△BEF=

1

2

|

EB

|•|

EF

|sin＜

EB

，

EF

＞求出三角形BEF的面积，由此能求出三棱锥C₁-BEF的体积．

解答： （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得E（

1

2

，0，

1

2

），F（0，

1

2

，

1

2

），H（

1

2

，1，

1

2

），

EF

=（-

1

2

，

1

2

，0），

EH

=（0，1，0），
设平面EFH的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • EF =- 1 2 x+ 1 2 y=0 n • EH =y=0

，∴

n

=（0，0，1），
又平面ABCD的法向量为

m

=（0，0，1），
∴平面EFH∥平面ABCD．
（2）解：B（1，1，0），C₁（0，1，1），

EB

=（

1

2

，1，-

1

2

），

EF

=（-

1

2

，

1

2

，0），

EC1

=（-

1

2

，1，

1

2

），
设平面BEF的法向量

p

=（a，b，c），
则

p • EB = 1 2 a+b- 1 2 c=0 p • EF =- 1 2 a+ 1 2 b=0

，
取a=1，得

p

=（1，1，3），
∴C₁到平面BEF的距离d=

| EC1 • p |

| p |

=

|- 1 2 +1+ 3 2 |

9+1+1

=

2 11

11

，
|

EB

|=

1 4 +1+ 1 4

=

6

2

，|

EF

|=

1 4 + 1 4

=

2

2

，
cos＜

EB

，

EF

＞=

- 1 4 + 1 2 +0

6 2 × 2 2

=

3

6

，
∴sin＜

EB

，

EF

＞=

1-( 3 6 )2

=

33

6

，
∴S_△BEF=

1

2

|

EB

|•|

EF

|sin＜

EB

，

EF

＞=

1

2

×

6

2

×

2

2

×

33

6

=

11

8

，
∴三棱锥C₁-BEF的体积V=

1

3

×S△BEF×d=

1

3

×

11

8

×

2 11

11

=

1

12

．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．