Question

（2013•汕尾二模）已知F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为平面内的两个定点，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，记点P的轨迹为曲线г．
（Ⅰ）求曲线г的方程；
（Ⅱ）判断原点O关于直线x+y-1=0的对称点R是否在曲线г包围的范围内？说明理由．
（说明：点在曲线г包围的范围内是指点在曲线г上或点在曲线г包围的封闭图形的内部．）
（Ⅲ）设Q是曲线г上的一点，过点Q的直线l 交 x 轴于点F（-1，0），交 y 轴于点M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直线l 的斜率．

Answer 1

分析：（I）由题意利用椭圆的定义即可得出；
（II）解法一：利用轴对称（垂直平分）的知识可求出：原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），再判断

m2

4

+

n2

2

＜1是否成立即可．
解法二：同解法一求出点R（m，n），进而得到直线OR的方程，与椭圆方程联立即可得出交点G，H．判断点R是否在在线段GH上即可．
（III）由已知可得直线l的方程，可得点M的坐标，由Q，F，M三点共线，及|

MQ

|=2|

QF

|，即可得出点Q的坐标，代入椭圆方程即可得到直线l的斜率．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知，点P到两定点F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)的距离之和为定值4，
所以点P的轨迹是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的椭圆．
又a=2，c=

2

，所以b=

2

．
故所求方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）解法一：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），
由点关于直线的对称点的性质得：

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解得

m=1 n=1

即R（1，1）．
此时

12

4

+

12

2

=

3

4

＜1，∴R在曲线г包围的范围内．
解法二：设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R（m，n），
由点关于直线的对称点的性质得：

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解得

m=1 n=1

即R（1，1），
∴直线OR的方程：y=x
设直线OR交椭圆

x2

4

+

y2

2

=1于G和H，
由

y=x x2 4 + y2 2 =1

得：

x= 2 3 3 y= 2 3 3

或

x=- 2 3 3 y=- 2 3 3

即G(

2 3

3

，

2 3

3

)，H(-

2 3

3

，-

2 3

3

)．
显然点R在线段GH上．∴点R在曲线г包围的范围内．
（Ⅲ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k，直线l 的方程为y=k（x+1）．
则有M（0，k），设Q（x₁，y₁），由于Q，F，M三点共线，且|

MQ

|=2|

QF

|，
根据题意，得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得

x1=-2 y1=-k

或

x1=- 2 3 y1= k 3

．
又点Q在椭圆上，所以

(-2)2

4

+

(-k)2

2

=1或

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1．
解得k=0，k=±4．
综上，直线l 的斜率为k=0，k=±4．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、轴对称性质、点与椭圆的位置关系、向量关系等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．