Question

19．已知m，n，s，t∈R⁺，m+n=2，$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$=9，其中m，n是常数，当s+t取最小值$\frac{4}{9}$时，m，n对应的点（m，n）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为x+2y-3=0．

Answer 1

分析 ：由题设知（$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$）（s+t）=n+m+$\frac{mt}{s}$+$\frac{ns}{t}$≥m+n+2$\sqrt{\frac{mt}{s}•\frac{ns}{t}}$=m+n+2 $\sqrt{mn}$，满足 $\frac{mt}{s}$=$\frac{ns}{t}$时取最小值，由此得到m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中点从坐标公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入x²+2y²=4，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，由此能求出此弦所在的直线方程．

解答 解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=2，$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$=9，
s+t最小值是$\frac{4}{9}$，
∴（$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$）（s+t）的最小值为4．
∴（$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$）（s+t）=n+m+$\frac{mt}{s}$+$\frac{ns}{t}$≥m+n+2$\sqrt{\frac{mt}{s}•\frac{ns}{t}}$=m+n+2 $\sqrt{mn}$，
满足$\frac{mt}{s}=\frac{ns}{t}$时取最小值，
此时最小值为m+n+2$\sqrt{mn}$=2+2$\sqrt{mn}$=4，
得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．
设以（1，1）为中点的弦交椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点从坐标公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入x²+2y²=4，得
$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4…①}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=4…②}\end{array}\right.$，
①-②，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴此弦所在的直线方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即x+2y-3=0．
故答案为：x+2y-3=0．

点评 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用．