Question

5．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为B，若△BF₁F₂的周长为6，且点F₁到直线BF₂的距离为b．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A₁，A₂是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A₁，A₂的任意一点，直线A₁P交直线x=14于点M，求证：以MP为直径的圆过点A₂．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}2c+2a=6\\ 2cb=ab\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得a，b的值，可得椭圆C的方程；
（2）P（x₀，y₀），可得$\overrightarrow{{A}_{2}M}•\overrightarrow{{A}_{2}P}=0$，即以MP为直径的圆过点A₂．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}2c+2a=6\\ 2cb=ab\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\\ c=1\end{array}\right.$．
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
证明：（Ⅱ）由题意知A₁（-2，0），A₂（2，0），…（6分）
设P（x₀，y₀），
则${l_{{A_1}P}}：y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，得$M（14，\frac{{16{y_0}}}{{{x_0}+2}}））$．
且由点P在椭圆上，得${y_0}^2=3（1-\frac{{{x_0}^2}}{4}）$．…（9分）
所以$\overrightarrow{{A_2}M}•\overrightarrow{{A_2}P}=（12，\frac{{16{y_0}}}{{{x_0}+2}}）•（{x_0}-2，{y_0}）=12（{x_0}-2）+\frac{{16{y_0}^2}}{{{x_0}+2}}$
=$12（{x_0}-2）+\frac{{12（4-{x_0}^2）}}{{{x_0}+2}}=12（{x_0}-2）-\frac{{12（{x_0}-2）（{x_0}+2）}}{{{x_0}+2}}=0$…（13分）
以MP为直径的圆过点A₂．…（14分）

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，向量的数量积运算，难度中档．