Question

若实数a＞0且a≠2，函数f(x)=

1

3

ax3-

1

2

(a+2)x2+2x+1．
（1）若a＞2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若在区间（0，+∞）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，通过a＞2，列出导函数的值的符号，确定函数f（x）的单调区间；
（2）通过f（0）=1，利用（1）要使在区间（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜1成立，只需在区间（0，+∞）上f（x）_极小值＜1，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

3

ax3-

1

2

(a+1)x2+2x+1
∴f′(x)=ax2-(a+2)x+2=a(x-1)(x-

2

a

)…（2分）a＞2时，列表如下，

x	(-∞， 2 a )	2 a	( 2 a ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴函数在x=1处取极值，f(x)的单调递增区间是(-∞，

2

a

)和(1，+∞)
单调递减区间是(

2

a

，1)…（6分）
当0＜a＜2时，列表如下，

x	（-∞，1）	1	(1， 2 a )	2 a	( 1 a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴函数f(x)在x=1处取极值，h(x)的单调递增区间是(-∞，1)和(

2

a

，+∞)
单调递减区间是(1，

2

a

)…（6分）
（2）因为f（0）=1，由（1）知要使在区间（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜1成立，只需在区间（0，+∞）上f（x）_极小值＜1即可．…（8分）
当a＞2时，f（x）_极小值=f（1）=2-

a

6

＜1，所以a＞6．…（10分）
当0＜a＜2时，f(x)极小值=f(

2

a

)=1+

2(3a-2)

3a2

＜1恒成立，所以0＜a＜

2

3

．…（12分）
综上所述，实数a的取值范围为(0，

2

3

)∪(6，+∞)…（13分）

点评：本题是中档题，考查函数的导数，函数的单调性的应用，考查转化思想计算能力，同时注意分类讨论思想．近几年高考必考内容．